La th\u00e9orie des actions de groupes joue un r\u00f4le crucial en math\u00e9matiques, ouvrant la porte \u00e0 une multitude d’applications vari\u00e9es.<\/p>\n\n\n\n
Le sujet est si central qu’une le\u00e7on lui est sp\u00e9cifiquement consacr\u00e9e :
Le\u00e7on 101: \u00ab\u00a0Groupe op\u00e9rant sur un ensemble : exemples et applications\u00a0\u00bb.<\/p>\n\n\n\n
Dans cet article, nous vous proposons des \u00e9l\u00e9ments cl\u00e9s pour \u00e9laborer le plan de cette le\u00e7on.<\/p>\n\n\n\n
Pour saisir ce que signifie une action de groupe, il est essentiel de commencer par comprendre la notion de groupe.<\/p>\n\n\n\n
Un groupe<\/strong> est la donn\u00e9e d’un ensemble G<\/span> et d’une loi composition interne v\u00e9rifiant des axiomes connus<\/a>. L’objectif de la th\u00e9orie des actions de groupe est d‘\u00e9tablir une correspondance entre un groupe abstrait et le groupe des bijections d’un ensemble<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finition d’une action de groupe<\/strong>: \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span><\/p>\n\n\n\n Les exemples standards d’actions de groupe sont les suivants:<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finition d’une action fid\u00e8le<\/strong>: Si \\rho<\/span> est une action fid\u00e8le alors \\rho<\/span> induit un isormorphisme de G<\/span> sur un sous groupe de \\mathrm{Bij}(X)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Toute action quelconque se ram\u00e8ne \u00e0 une action fid\u00e8le, en quotientant par le noyau. \\rho'(g \\mod \\mathrm{ker}(\\rho)) \\cdot x := \\rho(g) \\cdot x<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Exemples:<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finitions:<\/strong> \\mathrm{Orb}(x) := \\{ \\rho(g) \\cdot x , \\quad g \\in G \\}<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Le stabilisateur<\/strong> de x<\/span> est sous-groupe:<\/p>\n\n\n\n \\mathrm{Stab}(x) := \\{ g \\in G ~|~ \\rho(g) \\cdot x = x \\}<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Exemples:<\/p>\n\n\n\n Une orbite s’interpr\u00e8te aussi comme classe d’\u00e9quivalence pour la relation d’\u00e9quivalence:<\/p>\n\n\n\n x \\sim y \\Longleftrightarrow \\exists g \\in G, \\quad x = \\rho(g) \\cdot y.<\/span><\/p>\n\n\n\n On peut donc en d\u00e9duire que X<\/span> est l’union disjointe des orbites<\/strong>. \\mathrm{Card}(X) = \\sum_{i \\in I} \\mathrm{Card}(\\mathrm{Orb}(x_i))<\/span>,<\/p>\n\n\n\n o\u00f9 x_i<\/span> parcourt un ensemble de repr\u00e9sentants des orbites.<\/p>\n\n\n\n Le stabilisateur et l’orbite sont reli\u00e9s par la proposition suivante.<\/p>\n\n\n\n Proposition:<\/strong> G \\longrightarrow X, \\quad g \\longmapsto \\rho(g) \\cdot x.<\/span><\/p>\n\n\n\n induit une bijection entre G \/ \\mathrm{Stab}(x)<\/span> et \\mathrm{Orb}(x)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Corrolaire – La formule des classes:<\/strong> \\mathrm{Card}(G) \/ \\mathrm{Card}(\\mathrm{Stab}(x)) = \\mathrm{Card}(\\mathrm{Orb}(x))<\/span><\/p>\n\n\n\n La formule de Burnside est un th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9nombrement qui sert le plus souvent \u00e0 calculer le nombre d’orbites d’une action de groupe.<\/p>\n\n\n\n D\u00e9finition – Fixateur:<\/strong> \\mathrm{Fix}(g) = \\{ x \\in X ~|~ \\rho(g) \\cdot x = x \\}<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me – Formule de Burneside:<\/strong> N \\times \\mathrm{Card}(G) = \\sum_{g \\in G} \\mathrm{Fix}(g)<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Donnons quelques th\u00e9or\u00e8mes importants sur les groupes finis qui se d\u00e9montrent \u00e0 l’aide des actions de groupes.<\/p>\n\n\n\n Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy:<\/strong> Preuve:<\/strong> X := \\{ (g_1, g_2, \\dots, g_p) \\in G^p ~|~ g_1 \\times g_2 \\dots \\times g_p = 1_G \\}<\/span>.<\/p>\n\n\n\n On fait agir le groupe \\mathbb{Z}\/p \\mathbb{Z}<\/span> sur X<\/span> en faisant tourner les \u00e9l\u00e9ments: pour x = (g_1, g_2, \\dots, g_p)<\/span> et (k \\mod p) \\in \\mathbb{Z}\/p \\mathbb{Z}<\/span>:<\/p>\n\n\n\n \\rho(k \\mod p) \\cdot x = (g_{1 +k \\mod p}, g_{2 +k \\mod p}, \\dots, g_{p +k \\mod p})<\/span><\/p>\n\n\n\n On remarque les choses suivantes:<\/p>\n\n\n\n On cherche donc \u00e0 montrer qu’il existe des orbites de cardinal 1<\/strong>, autre que (1_G, 1_G, \\dots, 1_G)<\/span>. Le cardinal de X<\/span> vaut \\mathrm{Card}(G)^{p-1}<\/span>. \\mathrm{Card}(X) \\equiv 0 \\mod p<\/span>.<\/p>\n\n\n\n D’apr\u00e8s l’\u00e9quation des classes<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n \\mathrm{Card}(X) = \\sum_{i \\in I} \\mathrm{Card}( \\mathcal{O_i} )<\/span>,<\/p>\n\n\n\n o\u00f9 \\mathcal{O_i}<\/span> d\u00e9signe les orbites disjointes.<\/p>\n\n\n\n Pour tout i \\in I <\/span>, le cardinal \\mathrm{Card}( \\mathcal{O_i} )<\/span> divise \\mathrm{Card}(\\mathbb{Z}\/p \\mathbb{Z})<\/span>. On a donc:<\/p>\n\n\n\n \\mathrm{Card}(X) \\equiv N \\mod p<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Or \\mathrm{Card}(X) \\equiv 0 \\mod p<\/span> et N \\geq 1<\/span>. Th\u00e9or\u00e8me:<\/strong> Preuve:<\/strong> On note Z<\/span> le centre de G<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Soit \\mathcal{O}<\/span> une orbite. D’autre part \\mathcal{O}<\/span> est de cardinal 1 si et seulement si c’est l’orbite d’un \u00e9l\u00e9ment du centre.<\/p>\n\n\n\n D’apr\u00e8s l’\u00e9quation des classes<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n \\mathrm{Card}(X) = \\sum_{i \\in I} \\mathrm{Card}( \\mathcal{O_i} )<\/span>,<\/p>\n\n\n\n o\u00f9 \\mathcal{O_i}<\/span> d\u00e9signe les orbites disjointes.<\/p>\n\n\n\n Il y a \\mathrm{Card}(Z)<\/span> orbites de cardinal 1 et tous les autres orbites sont de cardinal congrue \u00e0 (0 \\mod p)<\/span>. \\mathrm{Card}(Z) \\equiv \\mathrm{Card}(X) \\mod p \\equiv 0 \\mod p<\/span>.<\/p>\n\n\n\n Donc Z<\/span> est non r\u00e9duit \u00e0 l’\u00e9l\u00e9ment neutre. CQFD<\/p>\n\n\n\n Si cet article t’as aid\u00e9 ou si tu as des questions, n’h\u00e9site pas \u00e0 \u00e9crire en commentaire ! \ud83d\udc4d<\/p>\n\n\n\n La th\u00e9orie des actions de groupes joue un r\u00f4le crucial en math\u00e9matiques, ouvrant la porte \u00e0 une multitude d’applications vari\u00e9es. Le sujet est si central qu’une le\u00e7on lui est sp\u00e9cifiquement consacr\u00e9e : Le\u00e7on 101: \u00ab\u00a0Groupe op\u00e9rant sur un ensemble : exemples et applications\u00a0\u00bb. Dans cet article, nous vous proposons des […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":145,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[11,10],"tags":[],"class_list":["post-99","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-action-de-groupe","category-groupe"],"yoast_head":"\n
Autrement dit on peut composer<\/strong> deux \u00e9l\u00e9ments de G<\/span> entre eux.
L’exemple fondamentale de loi, est la composition de fonctions sur un ensemble<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Soit G<\/span> un groupe et X<\/span> un ensemble.
On note \\mathrm{Bij}(X)<\/span> le groupe des bijections sur X<\/span>.
Une action du groupe G<\/span> sur X<\/span> est la donn\u00e9e d’un morphisme de groupe<\/p>\n\n\n\n\n
g \\in G, x \\in X:=G, \\quad \\rho(g) \\cdot x = g \\times x<\/span>.<\/li>\n\n\n\n
g \\in G, x \\in X:=G, \\quad \\rho(g) \\cdot x = g \\times x \\times g^{-1}<\/span>.<\/li>\n\n\n\nAction fid\u00e8le<\/h2>\n\n\n\n
Soit \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une action de groupe.
L’action est dite fid\u00e8le<\/strong> si \\rho<\/span> est injectif.<\/p>\n\n\n\n
C’est-\u00e0-dire qu’on peut d\u00e9finir \\rho' : G\/\\mathrm{ker}(\\rho) \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une repr\u00e9sentation fid\u00e8le par:<\/p>\n\n\n\n\n
On peut en d\u00e9duire le th\u00e9or\u00e8me de Cayley<\/a>: G<\/span> est isomorphe \u00e0 un sous-groupe d’un groupe sym\u00e9trique.<\/li>\n\n\n\n
L’image s’appelle les automorphismes int\u00e9rieurs<\/a>.
Le groupe des automorphisme int\u00e9rieur est alors isomorphes \u00e0 G\/\\mathrm{Z}(G)<\/span><\/li>\n\n\n\n
Le quotient s’appelle de groupe projectif lin\u00e9aire \\mathrm{PGL}_n(\\mathrm{R})<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\nOrbite et stabilisateur<\/h2>\n\n\n\n
Soit \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une action de groupe.
Soit x \\in X<\/span>.
L’orbite<\/strong> de x<\/span> est l’ensemble le sous-ensemble de X<\/span>:<\/p>\n\n\n\n\n
L’orbite d’un point x<\/span> est le cercle centr\u00e9 \u00e0 l’origine de rayon \\|x\\|_2<\/span>.
C’est l’analogie avec l’orbite d’une plan\u00e8te.<\/li>\n\n\n\n
L’orbite d’une matrice x \\in \\mathrm{GL}_n(\\mathrm{R})<\/span> est l’ensemble des matrices conjugu\u00e9s \u00e0 x<\/span>.
Son stabilisateur est le sous-groupe des matrices qui commutent avec x<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Dans le cas o\u00f9 X<\/span> est fini, on obtient l’\u00e9quation des classes<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n
Soit \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une action de groupe.
Soit x<\/span>.
L’application<\/p>\n\n\n\n
Si G<\/span> est un groupe fini, alors:<\/p>\n\n\n\nLa formule de Burnside<\/h2>\n\n\n\n
Soit \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une action de groupe.
Soit g \\in G<\/span>.
Le fixateur<\/strong> de g<\/span> est le sous-ensemble:<\/p>\n\n\n\n
Soit \\rho : G \\longrightarrow \\mathrm{Bij}(X)<\/span> une action de groupe.
On suppose que G<\/span> et X<\/span> sont des ensembles finis.
On note N<\/span> le nombre d’orbites distinctes.
Alors on a:<\/p>\n\n\n\nApplications sur les groupes finis<\/h2>\n\n\n\n
Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy:<\/h3>\n\n\n\n
Soit G<\/span> un groupe fini.
Soit p<\/span> un nombre premier divisant G<\/span>.
Alors G<\/span> admet un \u00e9l\u00e9ment d’ordre p<\/span>.<\/p>\n\n\n\n
On d\u00e9finit l’ensemble:<\/p>\n\n\n\n\n
On note N \\geq 1<\/span> le nombre d’orbites de cardinal 1.<\/p>\n\n\n\n
Comme p<\/span> divise \\mathrm{Card}(G)<\/span>, on a:<\/p>\n\n\n\n
Donc \\mathrm{Card}( \\mathcal{O_i} )<\/span> vaut 1 ou p<\/span>.<\/p>\n\n\n\n
Donc N \\geq p<\/span>. CQFD<\/p>\n\n\n\nCentre d’un p-groupe<\/h3>\n\n\n\n
Soit p<\/span> un nombre premier.
Soit G<\/span> un p-groupe<\/a> non-r\u00e9duit \u00e0 1.
Alors le centre<\/a> de G<\/span> est non-r\u00e9duit \u00e0 1.<\/p>\n\n\n\n
On note X := G<\/span> et \\rho<\/span> l’action de G<\/span> sur X<\/span> par conjugaison.<\/p>\n\n\n\n
Le cardinal de \\mathcal{O}<\/span> divise \\mathrm{Card}(G)<\/span>.
Comme \\mathrm{Card}(G)<\/span> est une puissance de p:<\/p>\n\n\n\n\n
Donc:<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"